Uniones disjuntas

Si dos conjuntos tienen elementos en común, su unión no será disjunta. En particular las propiedades de la unión de conjuntos aseguran que cada elemento común aparece una sola vez en el resultado de la misma. Sin embargo, es posible tomar una «unión» en la que se distingue de alguna forma dichos elementos comunes, de tal manera que se les pueda incluir más de una vez.

Para ello, antes de tomar una unión ordinaria se manipulan los conjuntos a unir para asegurar que, aunque resulten ser muy parecidos a los de partida, sean disjuntos entre sí. Una manera de conseguir esto es mediante el producto cartesiano.

De esta manera, la unión disjunta de $A$ y $B$ se define como:

Por lo que, según la definición, $J=\{0,1\}$ , con $X_0=A$ y $X_1=B$.

Los conjuntos $A=\{1,2,3\}$ y $B=\{1,2,4\}$ no son disjuntos, y su unión es $A\cup B=\{1,2,3,4\}$. Aunque ambos tienen $3$ elementos, su unión solo tiene $4$, puesto que tienen elementos en común. No obstante, su unión disjunta es

y tiene 6 elementos. Es como poner una etiqueta que permite distinguir elementos idénticos.

El producto cartesiano toma el producto de cada elemento de un conjunto con cada elemento de otro, resultando en todas las posibles combinaciones: $|X\times Y|=|X|·|Y|$. Por el contrario, la unión disjunta toma cada elemento de cada conjunto, diferenciando siempre entre ellos, y los une (o suma), teniendo que $|X\bigsqcup Y|=|X|+|Y|$.

El producto cartesiano del ejemplo anterior sería